Подбор сечения двутавровой балки, работающей на изгиб

Подобрать номер двутавра по ГОСТ Р 57837–2017, необходимого для восприятия действующих на балку нагрузок.

Максимальные расчетные усилия, возникающие в сечении балки под действием приложенных нагрузок согласно Таблице 7 в Справочнике по сопротивлению материалов под ред. Г.С. Писаренко, Киев, 1988:

• От сосредоточенной силы P:

Поперечная сила:

\[Q_{max} = P\frac{b}{l}\]

\[Q_{min} = P\frac{a}{l}\]

Изгибающий момент:

\[M_{max} = P\frac{ab}{l}\]

Поперечная сила:

\[Q_{max} = Q_{min} = \frac{ql}{2}\]

Изгибающий момент:

\[M_{max} = \frac{ql^2}{8}\]

В первом приближении пренебрежем весом двутавра и вычислим максимальный изгибающий момент в балке только от действия сосредоточенной нагрузки P:

\[M = \frac{P \times \frac{L}{2} \times \frac{L}{2}}{L} = P \times \frac{L}{4} = 2 \times \frac{3}{4} = 1.5\; \text{т·м}\]

Выполним подбор сечения необходимого двутавра на действие изгибающего момента согласно условию прочности, указанному в п.8.2.1, СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции»:

\[ \frac{M}{W_{n,min}R_{y}γ_{c}} ≤ 1, \]

где:
M – изгибающий момент;
W_n,min – минимальный момент сопротивления сечения относительно оси изгиба балки;
R_y – расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию, изгибу по пределу текучести;
γ_c – коэффициент условий работы балки.

Тогда, требуемый момент сопротивления сечения двутавра должен составить:

\[ W_{n,\min} \geq \frac{M}{R_y \gamma_c} \]

\[ \frac{M}{R_y \gamma_c} = \frac{1.5 \times 1000 \times 100}{2436.5 \times 0.9} = 68.4\ \text{см}^3 \]

\[ W_{n,\min} \geq 68.4\ \text{см}^3 \]

Примем двутавр 14Б2 c ближайшим к расчетному моментом сопротивления (W_x = 77.3 см³).

Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 14Б2:

\[ q = \gamma_f w \]

где:
w – номинальная масса 1 м двутавра.

\[ q = 1.05 \times 12.9 = 13.5\ \text{кг/м} \]

Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 14Б2 от действия силы P и собственного веса балки:
\[M = \frac{PL}{4} + \frac{qL^2}{8} = \frac{2 × 3}{4} + \frac{13.5 × 3^2 }{1000 × 8} = 1.52 \; \text{т·м}\]

Проверка прочности балки на действие суммарного максимальный изгибающий момент в балке:

\[ \frac{M}{W_{n,min}R_{y}γ_{c}} ≤ 1 \]

\[\frac{1.52 × 1000 × 100}{77.3 × 2436.5 × 0.9} = 0.9 < 1 \]

Следовательно, условие прочности выполняется.

Проверки балки на устойчивость выполняется согласно п.8.4.1, СП 16.13330.2017:

\[ \frac{M_{x}}{\varphi_{b}W_{cx}R_{y}γ_{c}} ≤ 1, \]

где:
φ_b – коэффициент устойчивости при изгибе.


Коэффициента φ_b рассчитывается согласно Приложению Ж, СП 16.13330.2017:

– момент инерции сечения балки при свободном кручении:

\[ I_{t} = (\frac{k}{3})\Sigma b_{i}t_{i}^3 ,\]

где:
k = 1,29 – для двутаврового сечения с двумя осями симметрии;
b_i и t_i – ширина и толщина листов соответственно, образующих сечение двутавра, включая стенку.
\[ I_{t} = \left(\frac{1.29}{3}\right) \times \left(2 \times 7.3 \times 0.69^3 + 12.62 \times 0.47^3\right) = 2.63\ \text{см}^4 \]
– коэффициент α:

\[ a = 1.54 \frac{I_{t}}{I_{y}}(\frac{l_{ef}}{h})^2, \]
\[ a = 1.54×\frac{2.63}{44.92}×(\frac{3}{0.14})^2 = 41.4 \]

— коэффициент Ψ по Таблице Ж.1, СП 16.13 330.2017, при 40 < α ≤ 400:

\[ \Psi = 3.3 + 0.053 \alpha - 4.5 \times 10^{-5} \alpha^2 =\]

\[ \Psi = 3.3 + 0.053 \times 41.4 - 4.5 \times 10^{-5} \times 41.4^2 = 5.42 \]

— коэффициент φ₁ :

\[ \varphi_{1} = \psi \frac{I_{y}}{I_{x}}(\frac{h}{l_{ef}})^2 \frac{E}{R_{y}}, \]
\[\varphi_{1} = 5.42×\frac{44.92}{541.22}×(\frac{0.14}{3})^2×\frac{2.06×10^5}{240}=0.84\]

– коэффициент φ_b при φ₁ ≤ 0.85:

φ_b = φ₁ = 0.84

Проверка балки из двутавра 14Б2 на устойчивость:

\[ \frac{M_{x}}{\varphi_{b}W_{cx}R_{y}\gamma_{c}} \le 1; \]
\[\frac{1.51×1000×100}{0.84×77.3×2436.5×0.9} = 1.06 \gt 1 \]

Условие не выполняется. Двутавр 14Б2 не обладает достаточной устойчивостью. Следовательно, требуется увеличить сечение балки.

Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 16Б1:

\[ q = 1.05 \times 12.7 = 13.3~\text{кг/м} \]

Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 16Б1 от действия силы P и собственного веса балки:

\[ M = \frac{PL}{4} + \frac{qL^2}{8} = \frac{2 \times 3}{4} + \frac{13.3 \times 3^2}{1000 \times 8} = 1.51~\text{тм} \]

Расчет коэффициента φ_b для двутавра 16Б1:
– момент инерции сечения двутавра при свободном кручении: I_t = 1.85 см⁴
– коэффициент Ψ: 5.41
– коэффициент φ₁: 0.65
– коэффициент φ_b: 0.65

Проверка балки из двутавра 16Б1 на устойчивость:

\[\frac{1.51×1000×100}{0.65×87.8×2436.5×0.9} = 1.21 \gt 1 \]

Условие не выполняется. Двутавр 16Б1 не обладает достаточной устойчивостью. Требуется еще увеличить сечение балки.

Примем двутавр 16Б2 и повторим расчет балки на устойчивость.

Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 16Б2:

\[ q = 1.05 \times 15.8 = 16.6~\text{кг/м} \]

Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:

\[ M = \frac{PL}{4} + \frac{qL^2}{8} = \frac{2 \times 3}{4} + \frac{16.6 \times 3^2}{1000 \times 8} = 1.52~\text{тм} \]

Расчет коэффициента φ_b для двутавра 16Б2:
– момент инерции сечения двутавра при свободном кручении: I_t = 3.64 см⁴
– коэффициент Ψ: 4.35
– коэффициент φ₁: 0.84
– коэффициент φ_b: 0.84

Проверка балки из двутавра 16Б2 на устойчивость:

\[\frac{1.52×1000×100}{0.84×108.7×2436.5×0.9} = 0.76 \lt 1 \]

Условие выполняется. Двутавр 16Б2 обладает достаточной устойчивостью для восприятия расчетных нагрузок.

Выполним проверку прочности балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу согласно п.8.2.1, СП 16.13330.2017:

\[\frac{QS}{It_{w}R_{s}\gamma_{c}} \le 1,\]

где:
Q – поперечная сила;
S – статический момент сдвигаемой части сечения брутто относительно нейтральной оси;
I – момент инерции сечения;
t_w – толщина стенки двутавровой балки;
R_s – расчетное сопротивление стали сдвигу.

Суммарная максимальная поперечная сила в балке из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:

\[ Q = \frac{P}{2} + \frac{qL}{2} = \frac{2}{2} + \frac{16.6 \times 3}{1000 \times 2} = 1.02~\text{т} \]

Расчетное сопротивление стали сдвигу согласно Таблице 2, СП 16.13330.2017:

\[ R_s = 0.58 R_y = 0.58 \times 2436.5 = 1413.17~\text{кг/см}^2 \]

Проверка прочности балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу:

\[\frac{1.02×1000×61.93}{869.29×0.5×1413.17×0.9} = 0.11 \lt 1\]

Условие выполняется, следовательно прочность балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу обеспечена.

Проверка максимального прогиба балки:

\[f_{max} ≤ \frac {L}{200} \]

Максимальные прогибы балки под действием приложенных нагрузок согласно Таблице 27 справочника по сопротивлению материалов под ред. Г.С. Писаренко, Киев, 1988:

• От сосредоточенной силы P:

\[f= - \frac{Pl^3}{48EJ} \]

\[f= - \frac{5ql^4}{384EJ} \]

Суммарный прогиб балки из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:

\[ f_{\max} = \frac{2 \times 1000 \times (3 \times 100)^3}{48 \times 2\,099\,898 \times 869.29} + \frac{5 \times 16.6 \times (3 \times 100)^4}{384 \times 2\,099\,898 \times 869.29 \times 100} =\]

\[ = 0.616 + 0.009 = 0.625~\text{см} \]

Предельно допустимый прогиб балки:

\[ \frac{L}{200} = \frac{300}{200} = 1.50~\text{см} \]

Проверка максимального прогиба балки:

\[f_{max} ≤ \frac {L}{200} \]

\[ 0.625 < 1.50 \]

Условие выполняется. Прогиб балки из двутавра 16Б2 не превышает предельно допустимого значения.