Подбор сечения двутавровой балки, работающей на изгиб

Подобрать номер двутавра по ГОСТ Р 57837–2017, необходимого для восприятия действующих на балку нагрузок.

Максимальные расчетные усилия, возникающие в сечении балки под действием приложенных нагрузок согласно Таблице 7 в Справочнике по сопротивлению материалов под ред. Г.С. Писаренко, Киев, 1988:

• От сосредоточенной силы P:

Поперечная сила:

\[Q_{max} = P\frac{b}{l}\]

\[Q_{min} = P\frac{a}{l}\]

Изгибающий момент:

\(h_0 = h - a = 40 - 4 = 36\ \text{см}\).

\(A_b = b \times h - A'_s - A_s.\)

\(\sigma_{CP} = -\dfrac{N}{A_b + \alpha (A'_s + A_s)},\quad \alpha=\dfrac{200000}{E_b}.\)

\(Q_1 = \varphi_N \times 0.3\,R_b\, b\, h_0 / 100.\)

\(A_{sw} = n_{sw}\times \dfrac{\pi (\phi/10)^2}{4} = 1.0053\ \text{см}^2.\)

\(q_{sw} = \dfrac{R_{sw} A_{sw}}{s_w \times 98.1} = 0.0871\ \text{(т/см)}.\)

\(M_b = 1.5\, R_{bt}\, b\, h_0^2 / 98.1 = 356.6972\ \text{т·см}.\)

\(C_0 = \max(h_0,\min(C,2h_0)) = 36\ \text{см}.\)

\(Q_{sw} = 0.75\, q_{sw}\, C_0 = 4.70374\) т.

\(Q_{tot} = Q_b + Q_{sw} = 9.805318\ \text{т}.\)

\(Q = Q_{max} - \dfrac{q - 0.5 q_v}{100} \times C = 8.89163\ \text{т}.\)

\(F_2 = \dfrac{Q}{Q_{tot}} = 0.9068.\)

\(s_{w,max} = \dfrac{R_{bt}}{98.1} \times b\times h_0^2 / Q = 26.74405\ \text{см}.\)

\(F_3 = \dfrac{s_w}{s_{w,max}} = 0.7478.\)

\(N_s = \dfrac{R_s}{98.1}\times A_s = 28.6850\ \text{т};\quad z_s = 0.9 h_0 = 32.4\ \text{см}.\)

\(M_s = N_s z_s = 929.3945\ \text{т·см};\quad M_{sw} = 0.5\, q_{sw}\, h_0^2 = 56.4449\ \text{т·см}.\)

\(F_4 = \dfrac{M\times 100}{M_s + M_{sw}} = 0.3043.\)

\(F_4 = \dfrac{M\times 100}{M_s + M_{sw}} = 0.3043.\)

Поперечная сила:

\[Q_{max} = Q_{min} = \frac{ql}{2}\]

Изгибающий момент:

\[M_{max} = \frac{ql^2}{8}\]

В первом приближении пренебрежем весом двутавра и вычислим максимальный изгибающий момент в балке только от действия сосредоточенной нагрузки P:

Выполним подбор сечения необходимого двутавра на действие изгибающего момента согласно условию прочности, указанному в п.8.2.1, СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции»:

\[ \frac{M}{W_{n,min}R_{y}γ_{c}} ≤ 1, \]

где:
M – изгибающий момент;
W_n,min – минимальный момент сопротивления сечения относительно оси изгиба балки;
R_y – расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию, изгибу по пределу текучести;
γ_c – коэффициент условий работы балки.

Тогда, требуемый момент сопротивления сечения двутавра должен составить:

\[ W_{n,\min} \geq \frac{M}{R_y \gamma_c} \]

\[ \frac{M}{R_y \gamma_c} = \frac{1.5 \times 1000 \times 100}{2436.5 \times 0.9} = 68.4\ \text{см}^3 \]

\[ W_{n,\min} \geq 68.4\ \text{см}^3 \]

Примем двутавр 14Б2 c ближайшим к расчетному моментом сопротивления (W_x = 77.3 см³).

Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 14Б2:

\[ q = \gamma_f w \]

где:
w – номинальная масса 1 м двутавра.

\[ q = 1.05 \times 12.9 = 13.5\ \text{кг/м} \]

Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 14Б2 от действия силы P и собственного веса балки:

Проверка прочности балки на действие суммарного максимальный изгибающий момент в балке:

\[ \frac{M}{W_{n,min}R_{y}γ_{c}} ≤ 1 \]

\[\frac{1.52 × 1000 × 100}{77.3 × 2436.5 × 0.9} = 0.9 < 1 \]

Следовательно, условие прочности выполняется.

Проверки балки на устойчивость выполняется согласно п.8.4.1, СП 16.13330.2017:

\[ \frac{M_{x}}{\varphi_{b}W_{cx}R_{y}γ_{c}} ≤ 1, \]

где:
φ_b – коэффициент устойчивости при изгибе.


Коэффициента φ_b рассчитывается согласно Приложению Ж, СП 16.13330.2017:

– момент инерции сечения балки при свободном кручении:

\[ I_{t} = (\frac{k}{3})\Sigma b_{i}t_{i}^3 ,\]

где:
k = 1,29 – для двутаврового сечения с двумя осями симметрии;
b_i и t_i – ширина и толщина листов соответственно, образующих сечение двутавра, включая стенку.

– коэффициент α:

\[ a = 1.54 \frac{I_{t}}{I_{y}}(\frac{l_{ef}}{h})^2, \]
\[ a = 1.54×\frac{2.63}{44.92}×(\frac{3}{0.14})^2 = 41.4 \]

— коэффициент Ψ по Таблице Ж.1, СП 16.13 330.2017, при 40 < α ≤ 400:

\[ \Psi = 3.3 + 0.053 \alpha - 4.5 \times 10^{-5} \alpha^2 =\]

— коэффициент φ₁ :

\[ \varphi_{1} = \psi \frac{I_{y}}{I_{x}}(\frac{h}{l_{ef}})^2 \frac{E}{R_{y}}, \]

– коэффициент φ_b при φ₁ ≤ 0.85:
\[
\varphi_{b} = \varphi_{1} = 0.84
\]
Проверка балки из двутавра 14Б2 на устойчивость:

\[ \frac{M_{x}}{\varphi_{b}W_{cx}R_{y}\gamma_{c}} \le 1; \]
\[\frac{1.51×1000×100}{0.84×77.3×2436.5×0.9} = 1.06 \gt 1 \]

Условие не выполняется. Двутавр 14Б2 не обладает достаточной устойчивостью. Следовательно, требуется увеличить сечение балки.

Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 16Б1:

\[ q = 1.05 \times 12.7 = 13.3~\text{кг/м} \]

Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 16Б1 от действия силы P и собственного веса балки:

Расчет коэффициента φ_b для двутавра 16Б1:
– момент инерции сечения двутавра при свободном кручении: I_t = 1.85 см⁴
– коэффициент Ψ : 5.41
– коэффициент φ₁ : 0.65
– коэффициент φ_b : 0.65

Проверка балки из двутавра 16Б1 на устойчивость:

\[\frac{1.51×1000×100}{0.65×87.8×2436.5×0.9} = 1.21 \gt 1 \]

Условие не выполняется. Двутавр 16Б1 не обладает достаточной устойчивостью. Требуется еще увеличить сечение балки.

Примем двутавр 16Б2 и повторим расчет балки на устойчивость.

Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 16Б2:

\[ q = 1.05 \times 15.8 = 16.6~\text{кг/м} \]

Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:

Расчет коэффициента φ_b для двутавра 16Б2:
– момент инерции сечения двутавра при свободном кручении: I_t = 3.64 см⁴
– коэффициент Ψ : 4.35
– коэффициент φ₁ : 0.84
– коэффициент φ_b : 0.84

Проверка балки из двутавра 16Б2 на устойчивость:

\[\frac{1.52×1000×100}{0.84×108.7×2436.5×0.9} = 0.76 \lt 1 \]

Условие выполняется. Двутавр 16Б2 обладает достаточной устойчивостью для восприятия расчетных нагрузок.

Выполним проверку прочности балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу согласно п.8.2.1, СП 16.13330.2017:

\[\frac{QS}{It_{w}R_{s}\gamma_{c}} \le 1,\]

где:
Q – поперечная сила;
S – статический момент сдвигаемой части сечения брутто относительно нейтральной оси;
I – момент инерции сечения;
t_w – толщина стенки двутавровой балки;
R_s – расчетное сопротивление стали сдвигу.

Суммарная максимальная поперечная сила в балке из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:

\[ Q = \frac{P}{2} + \frac{qL}{2} = \frac{2}{2} + \frac{16.6 \times 3}{1000 \times 2} = 1.02~\text{т} \]

Расчетное сопротивление стали сдвигу согласно Таблице 2, СП 16.13330.2017:

Проверка прочности балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу:

\[\frac{1.02×1000×61.93}{869.29×0.5×1413.17×0.9} = 0.11 \lt 1\]

Условие выполняется, следовательно прочность балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу обеспечена.

Проверка максимального прогиба балки:

\[f_{max} ≤ \frac {L}{200} \]

Максимальные прогибы балки под действием приложенных нагрузок согласно Таблице 27 справочника по сопротивлению материалов под ред. Г.С. Писаренко, Киев, 1988:

• От сосредоточенной силы P:

\[f= - \frac{Pl^3}{48EJ} \]

\[f= - \frac{5ql^4}{384EJ} \]

Суммарный прогиб балки из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:

\[ = 0.616 + 0.009 = 0.625~\text{см} \]

Предельно допустимый прогиб балки:

\[ \frac{L}{200} = \frac{300}{200} = 1.50~\text{см} \]

Проверка максимального прогиба балки:

\[f_{max} ≤ \frac {L}{200} \]

\[ 0.625 < 1.50 \]

Условие выполняется. Прогиб балки из двутавра 16Б2 не превышает предельно допустимого значения.