Подбор сечения двутавровой балки, работающей на изгиб
Исходные данные:
- Пролет балки:
- Поперечные связи балки:
- Расчетное сопротивление стали балки:
- Модуль упругости стали балки:
- Коэффициент условий работы балки:
- Коэффициент надежности по нагрузке от собственного веса балки:
- Предельно допустимый относительный прогиб балки:
- Сосредоточенная сила, прикладываемая в середине пролета балки (расчетное значение, принятое с учетом необходимых коэффициентов надежности по нагрузке):
L = 3 м;
отсутствуют;
Ry = 240 МПа (2436.5 кг/см2)
E = 2.06·105 МПа (2099898 кг/см2);
γc = 0.9;
γf = 1.05;
L/200;
P = 2 т.
отсутствуют;
Ry = 240 МПа (2436.5 кг/см2)
E = 2.06·105 МПа (2099898 кг/см2);
γc = 0.9;
γf = 1.05;
L/200;
P = 2 т.
- Пролет балки:
- Поперечные связи балки:
- Расчетное сопротивление стали балки:
- Модуль упругости стали балки:
- Коэффициент условий работы балки:
- Коэффициент надежности по нагрузке от собственного веса балки:
- Предельно допустимый относительный прогиб балки:
- Сосредоточенная сила, прикладываемая в середине пролета балки (расчетное значение, принятое с учетом необходимых коэффициентов надежности по нагрузке):
Требуется:
Подобрать номер необходимого двутавра по ГОСТ Р 57837–2017 для восприятия действующих на балку нагрузок.
Решение:
Порядок расчета:
- Подбор требуемого номера двутавра из условия прочности на действие изгибающего момента;
- Проверка балки на устойчивость и при необходимости увеличение сечения двутавра;
- Проверка прочности балки на действие поперечной силы и при необходимости увеличение сечения двутавра;
- Проверка прогиба балки и при необходимости увеличение сечения двутавра.
1. Подбор номера требуемого двутавра из условия прочности на действие изгибающего момента
Максимальные расчетные усилия, возникающие в сечении балки под действием приложенных нагрузок согласно Таблице 7 в Справочнике по сопротивлению материалов под ред. Г.С. Писаренко, Киев, 1988:
- От сосредоточенной силы P:
Поперечная сила:
\[R_{A} = P\frac{b}{l}\]
\[R_{B} = P\frac{a}{l}\]
Изгибающий момент:
\[z_{0} = a\]
\[M_{max} = P\frac{ab}{l}\]
\[R_{A} = P\frac{b}{l}\]
\[R_{B} = P\frac{a}{l}\]
Изгибающий момент:
\[z_{0} = a\]
\[M_{max} = P\frac{ab}{l}\]
- От собственного веса балки:
Поперечная сила:
\[R_{A} =R_{B} = \frac{ql}{2}\]
Изгибающий момент:
\[z_{0} = \frac{l}{2}\]
\[M_{max} = \frac{ql^2}{8}\]
\[R_{A} =R_{B} = \frac{ql}{2}\]
Изгибающий момент:
\[z_{0} = \frac{l}{2}\]
\[M_{max} = \frac{ql^2}{8}\]
Максимальный изгибающий момент в балке от действия силы P:
\[M = \frac{(P × \frac{L}{2} × \frac{L}{2})} {(\frac{L}{2})} = P \frac{L}{4} = 2 × \frac{3}{4} = 1.5 тм\]
Выполним подбор сечения необходимого двутавра на действие изгибающего момента согласно условию прочности, п.8.2.1 СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции» (в первом приближении пренебрежем весом двутавра):
\[M = \frac{(P × \frac{L}{2} × \frac{L}{2})} {(\frac{L}{2})} = P \frac{L}{4} = 2 × \frac{3}{4} = 1.5 тм\]
Выполним подбор сечения необходимого двутавра на действие изгибающего момента согласно условию прочности, п.8.2.1 СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции» (в первом приближении пренебрежем весом двутавра):
\[ \frac{M}{W_{n,min}R_{y}γ_{c}} ≤ 1; \]
где:
M – изгибающий момент;
Wn,min – минимальный момент сопротивления сечения относительно оси изгиба балки;
Ry – расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию, изгибу по пределу текучести;
γc – коэффициент условий работы балки.
Тогда, требуемый момент сопротивления сечения двутавра должен составить:
Wn,min ≥ M / (Ry γc)
M / (Ry γc) = 1.5 × 1000 × 100 / (2436.5 × 0.9) = 68.4 см3
Wn,min ≥ 68.4 см3
Примем, двутавр 14Б2 c ближайшим к расчетному моментом сопротивления (Wx = 77.3 см3).
M – изгибающий момент;
Wn,min – минимальный момент сопротивления сечения относительно оси изгиба балки;
Ry – расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию, изгибу по пределу текучести;
γc – коэффициент условий работы балки.
Тогда, требуемый момент сопротивления сечения двутавра должен составить:
Wn,min ≥ M / (Ry γc)
M / (Ry γc) = 1.5 × 1000 × 100 / (2436.5 × 0.9) = 68.4 см3
Wn,min ≥ 68.4 см3
Примем, двутавр 14Б2 c ближайшим к расчетному моментом сопротивления (Wx = 77.3 см3).
Фрагмент таблицы 1 из ГОСТ Р 57837–2017
Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 14Б2:
q = γf w,
где:
w – номинальная масса 1 м двутавра.
q = 1.05 × 12.9 = 13.5 кг/м
Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 14Б2 от действия силы P и собственного веса балки:
\[M = \frac{PL}{4} + \frac{qL^2}{8} = \frac{2 × 3}{4} + \frac{13.5 × 3^2 }{1000 × 8} = 1.52 тм\]
Проверка прочности балки на действие суммарного максимальный изгибающий момент в балке:
\[ \frac{M}{W_{n,min}R_{y}γ_{c}} ≤ 1; \]
\[\frac{1.52 × 1000 × 100}{77.3 × 2436.5 × 0.9} = 0.9 \]
q = γf w,
где:
w – номинальная масса 1 м двутавра.
q = 1.05 × 12.9 = 13.5 кг/м
Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 14Б2 от действия силы P и собственного веса балки:
\[M = \frac{PL}{4} + \frac{qL^2}{8} = \frac{2 × 3}{4} + \frac{13.5 × 3^2 }{1000 × 8} = 1.52 тм\]
Проверка прочности балки на действие суммарного максимальный изгибающий момент в балке:
\[ \frac{M}{W_{n,min}R_{y}γ_{c}} ≤ 1; \]
\[\frac{1.52 × 1000 × 100}{77.3 × 2436.5 × 0.9} = 0.9 \]
0.9 < 1 – условие прочности выполняется.
2. Проверка балки на устойчивость
Проверки балки на устойчивость выполняется согласно п.8.4.1 СП 16.13330.2017:
\[ \frac{M_{x}}{\varphi_{b}W_{cx}R_{y}γ_{c}} ≤ 1; \]
где:
φb– коэффициент устойчивости при изгибе.
Коэффициента φb рассчитывается согласно Приложению Ж, СП 16.13330.2017:
– момент инерции сечения балки при свободном кручении:
φb– коэффициент устойчивости при изгибе.
Коэффициента φb рассчитывается согласно Приложению Ж, СП 16.13330.2017:
– момент инерции сечения балки при свободном кручении:
\[ I_{t} = (\frac{k}{3})\Sigma b_{i}t_{i}^3 \]
где:
k = 1,29 – для двутаврового сечения с двумя осями симметрии;
bi и ti – ширина и толщина листов соответственно, образующих сечение двутавра, включая стенку.
\[I_{t} = (\frac{1.29}{3}) × (2×7.3×0.69^3+12.62×0.47^3) = 2.63 см^4 \]
– коэффициент α:
k = 1,29 – для двутаврового сечения с двумя осями симметрии;
bi и ti – ширина и толщина листов соответственно, образующих сечение двутавра, включая стенку.
\[I_{t} = (\frac{1.29}{3}) × (2×7.3×0.69^3+12.62×0.47^3) = 2.63 см^4 \]
– коэффициент α:
\[ a = 1.54 \frac{I_{t}}{I_{y}}(\frac{l_{ef}}{h})^2, \]
\[ a = 1.54×\frac{2.63}{44.92}×(\frac{3}{0.14})^2 = 41.4 \]
\[ a = 1.54×\frac{2.63}{44.92}×(\frac{3}{0.14})^2 = 41.4 \]
— коэффициент Ψ по Таблице Ж.1, СП 16.13 330.2017:
при 40 < α ≤ 400: Ψ = 3.3 + 0.053 α - 4.5×10-5
α2 = 3.3 + 0.053×41.4 — 4.5×10-5×41.42 = 5.42
—коэффициент φ1 :
при 40 < α ≤ 400: Ψ = 3.3 + 0.053 α - 4.5×10-5
α2 = 3.3 + 0.053×41.4 — 4.5×10-5×41.42 = 5.42
—коэффициент φ1 :
\[ \varphi_{1} = \psi \frac{I_{y}}{I_{x}}(\frac{h}{l_{ef}})^2 \frac{E}{R_{y}}, \]
\[\varphi_{1} = 5.42×\frac{44.92}{541.22}×(\frac{0.14}{3})^2×\frac{2.06×10^5}{240}=0.84\]
\[\varphi_{1} = 5.42×\frac{44.92}{541.22}×(\frac{0.14}{3})^2×\frac{2.06×10^5}{240}=0.84\]
– коэффициент φb:
при φ1 ≤ 0.85: φb = φ1 = 0.84
Проверка балки из двутавра 14Б2 на устойчивость:
при φ1 ≤ 0.85: φb = φ1 = 0.84
Проверка балки из двутавра 14Б2 на устойчивость:
\[ \frac{M_{x}}{\varphi_{b}W_{cx}R_{y}\gamma_{c}} \le 1; \]
\[\frac{1.51×1000×100}{0.84×77.3×2436.5×0.9} = 1.06 \gt 1 \]
\[\frac{1.51×1000×100}{0.84×77.3×2436.5×0.9} = 1.06 \gt 1 \]
Условие не выполняется, двутавр 14Б2 не обладает достаточной устойчивостью. Требуется увеличить сечение балки.
Примем двутавр 16Б1 и повторим расчет балки на устойчивость.
Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 16Б1:
q = 1.05 × 12.7 = 13.3 кг/м
Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 16Б1 от действия силы P и собственного веса балки:
\[M=\frac{PL}{4} + \frac{qL^2}{8} = \frac{2×3}{4} + \frac{13.3×3^2}{1000×8} = 1.51тм\]
Расчет коэффициента φb для двутавра 16Б1:
– момент инерции сечения двутавра при свободном кручении: It = 1.85 см4
– коэффициент Ψ: Ψ = 5.41
– коэффициент φ1: φ1 = 0.65
– коэффициент φb: φb = 0.65
Проверка балки из двутавра 16Б1 на устойчивость:
\[\frac{1.51×1000×100}{0.65×87.8×2436.5×0.9} = 1.21 \gt 1 \]
Условие не выполняется, двутавр 16Б1 не обладает достаточной устойчивостью. Требуется увеличить сечение балки.
Примем двутавр 16Б2 и повторим расчет балки на устойчивость.
Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 16Б2:
q = 1.05 × 15.8 = 16.6 кг/м
Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:
\[M = \frac{PL}{4} + \frac{qL^2}{8} = \frac{2×3}{4} + \frac{16.6×3^2}{1000×8} = 1.52тм\]
Расчет коэффициента φb для двутавра 16Б2:
– момент инерции сечения двутавра при свободном кручении: It = 3.64 см4
– коэффициент Ψ: Ψ = 4.35
– коэффициент φ1: φ1 = 0.84
– коэффициент φb: φb = 0.84
Проверка балки из двутавра 16Б2 на устойчивость:
\[\frac{1.52×1000×100}{0.84×108.7×2436.5×0.9} = 0.76 \lt 1 \]
Условие выполняется, двутавр 16Б2 обладает достаточной устойчивостью для восприятия расчетных нагрузок.
Примем двутавр 16Б1 и повторим расчет балки на устойчивость.
Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 16Б1:
q = 1.05 × 12.7 = 13.3 кг/м
Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 16Б1 от действия силы P и собственного веса балки:
\[M=\frac{PL}{4} + \frac{qL^2}{8} = \frac{2×3}{4} + \frac{13.3×3^2}{1000×8} = 1.51тм\]
Расчет коэффициента φb для двутавра 16Б1:
– момент инерции сечения двутавра при свободном кручении: It = 1.85 см4
– коэффициент Ψ: Ψ = 5.41
– коэффициент φ1: φ1 = 0.65
– коэффициент φb: φb = 0.65
Проверка балки из двутавра 16Б1 на устойчивость:
\[\frac{1.51×1000×100}{0.65×87.8×2436.5×0.9} = 1.21 \gt 1 \]
Условие не выполняется, двутавр 16Б1 не обладает достаточной устойчивостью. Требуется увеличить сечение балки.
Примем двутавр 16Б2 и повторим расчет балки на устойчивость.
Нагрузка от собственного веса балки из двутавра 16Б2:
q = 1.05 × 15.8 = 16.6 кг/м
Суммарный максимальный изгибающий момент в балке из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:
\[M = \frac{PL}{4} + \frac{qL^2}{8} = \frac{2×3}{4} + \frac{16.6×3^2}{1000×8} = 1.52тм\]
Расчет коэффициента φb для двутавра 16Б2:
– момент инерции сечения двутавра при свободном кручении: It = 3.64 см4
– коэффициент Ψ: Ψ = 4.35
– коэффициент φ1: φ1 = 0.84
– коэффициент φb: φb = 0.84
Проверка балки из двутавра 16Б2 на устойчивость:
\[\frac{1.52×1000×100}{0.84×108.7×2436.5×0.9} = 0.76 \lt 1 \]
Условие выполняется, двутавр 16Б2 обладает достаточной устойчивостью для восприятия расчетных нагрузок.
3. Проверка прочности балки на действие поперечной силы
Выполним проверку прочности балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу согласно п.8.2.1 СП 16.13330.2017:
\[\frac{QS}{It_{w}R_{s}\gamma_{c}} \le 1; \]
где:
Q – поперечная сила;
S – статический момент сдвигаемой части сечения брутто относительно нейтральной оси;
I – момент инерции сечения;
tw – толщина стенки двутавровой балки;
Rs – расчетное сопротивление стали сдвигу.
Суммарная максимальная поперечная сила в балке из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:
\[Q = \frac{P}{2}+\frac{qL}{2} = \frac{2}{2} + \frac{16.6×3}{1000×2} = 1.02 т\]
Расчетное сопротивление стали сдвигу согласно Таблице 2, СП 16.13330.2017:
Rs = 0.58 Ry = 0.58 × 2436.5 = 1413.17 кг/см2
Проверка прочности балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу:
\[\frac{1.02×1000×61.93}{869.29×0.5×1413.17×0.9} = 0.11 \lt 1\]
Условие выполняется, следовательно прочность балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу обеспечена.
Q – поперечная сила;
S – статический момент сдвигаемой части сечения брутто относительно нейтральной оси;
I – момент инерции сечения;
tw – толщина стенки двутавровой балки;
Rs – расчетное сопротивление стали сдвигу.
Суммарная максимальная поперечная сила в балке из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:
\[Q = \frac{P}{2}+\frac{qL}{2} = \frac{2}{2} + \frac{16.6×3}{1000×2} = 1.02 т\]
Расчетное сопротивление стали сдвигу согласно Таблице 2, СП 16.13330.2017:
Rs = 0.58 Ry = 0.58 × 2436.5 = 1413.17 кг/см2
Проверка прочности балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу:
\[\frac{1.02×1000×61.93}{869.29×0.5×1413.17×0.9} = 0.11 \lt 1\]
Условие выполняется, следовательно прочность балки из двутавра 16Б2 на поперечную силу обеспечена.
4. Проверка прогиба балки
Проверка максимального прогиба балки:
\[f_{max} ≤ \frac {L}{200} \]
Максимальные прогибы балки под действием приложенных нагрузок согласно Таблице 27 справочника по сопротивлению материалов под ред. Г.С. Писаренко, Киев, 1988:
\[f_{max} ≤ \frac {L}{200} \]
Максимальные прогибы балки под действием приложенных нагрузок согласно Таблице 27 справочника по сопротивлению материалов под ред. Г.С. Писаренко, Киев, 1988:
- От сосредоточенной силы P:
\[f= - \frac{Pl^3}{48EJ} \]
при \[z= \frac{l}{2} \]
при \[z= \frac{l}{2} \]
- От собственного веса балки:
\[f= - \frac{5ql^4}{384EJ} \]
при \[z= \frac{l}{2} \]
при \[z= \frac{l}{2} \]
Суммарный прогиб балки из двутавра 16Б2 от действия силы P и собственного веса балки:
\[f_{max} = \frac{2×1000×(3×100)^3}{48×2099898×869.29} + \frac{5×16.6×(3×100)^4}{384×2099898×869.29×100}=0.616 + 0.009 = 0.625 см\]
\[\frac {L}{200} = \frac {300}{200} = 1.50 см \]
Проверка максимального прогиба балки:
\[f_{max} ≤ \frac {L}{200} \]
0.625 > 1.50, условие выполняется, прогиб балки из двутавра 16Б2 не превышает предельно допустимого значения.
\[f_{max} = \frac{2×1000×(3×100)^3}{48×2099898×869.29} + \frac{5×16.6×(3×100)^4}{384×2099898×869.29×100}=0.616 + 0.009 = 0.625 см\]
\[\frac {L}{200} = \frac {300}{200} = 1.50 см \]
Проверка максимального прогиба балки:
\[f_{max} ≤ \frac {L}{200} \]
0.625 > 1.50, условие выполняется, прогиб балки из двутавра 16Б2 не превышает предельно допустимого значения.
Вывод:
Двутавр 16Б2 по ГОСТ Р 57837–2017 обладает требуемой прочностью, устойчивостью и жесткостью для восприятия действующих на балку нагрузок.